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一、简答题

1． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

2． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

3． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

4． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？ 受激辐射是处于激发能级低能级

的原子被一个频率为

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

的。

5． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

6． 什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均

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依题意

值不随时间改变

7． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为

其中

8． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

9． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子

如果

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

归一化。

10．描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。

二、计算题

11．设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成

所需的最短时间

任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由

得，

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即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.

（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.

【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：

在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为

（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设

时刻粒子的波函数是

处于第一激发态的几率

即

可得

所以当n=l时有最小时间，即

12．设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

也属于正幂次级数，故有定态方程

式中：

则I 式可以化为：令

上方程可化简为

式解得

13．设已知在，值为

的共同表象中，算符

的矩阵分别为

试在取

则

解得

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而

其中C 为归一化常数。

的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.

设

的本征态矢为

则由

【答案】可能取得的值有可以解得同理由

为

可以解得

概率为

时态矢为

概率为

态矢

平均值为

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