2018年湖北工业大学生物工程与食品学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
是3维线性无关列向量，且
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
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芄中
不
知
故
2． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
3．
已知
且.
求
故
【答案】
由题意知又
又
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得
故
知
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知
即
4．
已知
通解是
.
,
证明
【答案】
由解的结构知
是4
阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量.
若齐次方程组Ax=0
的的基础解系
.
又由
得
因与
可知综上可知
，
有
即故都是
的解.
由
线性无关
.
由
是
得的基础解系
.
那么
二、计算题
5． 已知到基
的两个基为的过渡矩阵
P.
【答案】
记矩阵
为3阶可逆阵. 由过渡矩阵定义，
可求得P 如下：
，
，因
与
均为
的基，故A 和B 均
及
，
，
. 求由基
从而
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