2018年湖南大学金融与统计学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
的秩为
2.
二次型
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
2． 已知A 是3阶矩阵
，
是3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
知
故
构
3． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
将
代入得，
芄中
不
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
4．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
是矩阵
故所求的方程组可取为
解得此方程组
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
二、计算题
5． 求下列矩阵的逆阵：
（1
）
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