2018年湖南大学经济与贸易学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
知
的基础解系，
即为
的特征向量
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型.
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
【答案】
⑴由可得
，
则矩阵
解得B
矩阵的特征值为：
当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为：. 令X=Qy,
则
且秩
的值.
3
． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明
[!
【答案】（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形
；
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
即或
贝
因为A 是
实对称矩阵，所以必可对角化，且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
的规范形为
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
（Ⅱ）因
为
4． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
故
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
二、计算题
5．
已知
到基
的两个基为的过渡矩阵P.
【答案】
记矩阵
为3阶可逆阵. 由过渡矩阵定义
，
可求得P 如下：
，
，因
与
均为
的基，故A 和B 均
及
，
，
.
求由基
从而