2018年湖南大学金融与统计学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
则由正交变换
化二次型为标准形
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（
Ⅱ）由于故
故二次型 2． 设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0
有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解
.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且另外
，由
故可知
为A
的特征值
，为4的2重特征值，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A 有零特征值
的非零解
即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于
A 为3阶方阵，
且
为两个正交的非零向量，从而线性无关. 故
线性无关的特征向量，
记
则
即A 相似于矩阵
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3． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
4．
已知
故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
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