2018年湖南大学经济与贸易学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
故所求的方程组可取为
线性无关.
和向量组
线性表示；
解得此方程组
将
代入得，
构
线性无关，
列向量组
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
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于是，
方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
3
． 已知
且
. 求
又
又
知
即
4． 已知
A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
线性表出，也可
有非零公共解，
求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，
有
又知齐
得
故
知
故
所有非零解
_
t
为任
【答案】由题意知
次方程组Bx=0的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为由
线性表出，故可设
于是
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不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
其中t 为任意常数.
二、计算题
5． 设有向量组A
:
（1）向量B 不能由向量组A 线性表示；
（2）向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式惟一；
（3）向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式不惟一，并求一般表示式. 【答案】
记矩阵
，那么方程AX=B（1
）有解
可由向量组A 线性表示，
（1）当方程（1）的系数行列式
方程（1）有惟一解，从而向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式惟一； （2）当a=-4时，增广矩阵
及向量
问
为何值时
于是当（3
）当
时，方程（1）无解，从而向量B 不能由向量组A 线性表示； 时，
方程（1）有无穷多解，从而向量B 可由向量组A 线性表示，且表示式
不惟一. 因方程（1）的通解为
故B 由向量组A 线性表示的一般表示式为
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