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一、计算题

1． 图所示纯弯曲梁，己知外力偶矩

，截面对中性轴的惯性矩

，材料的弹性常数为E 、v ，

AB 线段的长度为a 。求线段AB 的长度改变量。

图

【答案】（l ）要求出AB 的长度改变量，则需要求出AB 的线应变。该梁为纯弯曲，故AB 线段上任意一点都处于单向压缩状态，但AB 上各点的压应力是互不相等的，所以AB 线上的线应变沿AB 是变化的，应逐点求得。

取AB 上任意一点K 的单元体为单向压缩应力状态，其压应力为

（2）将单向压缩应力状态的单元体逆时针旋转

，根据应力圆可得

方向的正应力

（3）在方向（AB 方向为）使用胡克定律，得

则将在AB 上积分，则可得

:

2． 两材料和截面b ×h 均相同的悬臂梁AC 和CD ，在C 处以活动铰链相接，并在梁AC 的跨中B 处承受铅垂荷载F ，如图1所示。设材料可视为弹性-理想塑性，屈服极限为σs 。试用虚位移原理，求结构的极限荷载。

（提示:结构可能出现两种极限状态:截面A 和B 形成塑性铰，或截面D 形成塑性铰。结构的极限荷载应取两者中的较小值。）

图1

【答案】（l ）求解超静定梁

将梁沿铰链C 断开，代之以约束反力X ，如图2所示。

图2

根据梁的变形，易知AC 梁与CD 梁在铰接点C 处的位移相等，即有变形协调方程由叠加法知AC 梁中C 截面的挠度：CD 梁上C 截面的挠度:代入变形协调方程即可解得:故梁的支反力:

（2）由上分析知，梁截面A 先形成塑性铰，除固定端A 外，另一截面也形成塑性铰时，结构达到极限状态。

分析知截面D 弯矩大于B 截面弯矩，因此D 截面较B 先形成塑性铰，即结构达到极限状态时，有:

载:

，则该矩形截面梁的极限载荷由:

得结构所能承受的极限荷

其中，

3． 如图1所示平面结构，AB 为刚性横梁，杆1和杆2均由Q235钢制成的细长杆，E=200 GPa，截面为圆形，

，试求此结构的临界载荷F cr 。

图1

【答案】（l ）求解超静定

取图2所示结构进行分析，根据平衡条件，列平衡方程即

。

图2

根据变形几何关系，如图3所示

图3

根据胡克定律

因

则

又因