题目：关于Aluthge变换的本性数值域和极大数值域的相关研究

数值域是泛函分析的重要组成部分, 有关这方面的研究涉及到了基础数学及应用数学的许多
不同分支,例如泛函分析,算子理论,$C^{*}$-代数,不等式,数值分析,扰动性理论, 系统论和量子物理等等, 并且在这些分支上得到了广泛的应用.随着数值域的不断发展,其他各种数值域也相继出现, 如极大数值域,本性数值域,本性极大数值域,联合数值域(joint), c-数值域以及联合本性
极大数值域等,都为这方面的研究增添了无限生机.
对Hilbert空间$mathcal{H}$中的任一有界线性算子$T$, A.Aluthge在1990年定义了它的Aluthge变换$widetilde{T}=|T|^{frac{1}{2}}U|T|^{frac{1}{2}}$. 2001年Takeaki.Yamazaki又引入$T$的$^{*}$-Aluthge变换$widetilde{T}^{(*)}=|T^{*}|^{frac{1}{2}}U|T^{*}|^{frac{1}{2}}$. 关于这两个算子及$T$的诸多性质的研究如谱的关系, 数值域的包含关系,范数的关系等等都吸引了众多学者的关注.2002年, 台湾学者吴培元在文[6]中就$T$, $widetilde{T}$及$widetilde{T}^{(*)}$数值域的包含关系给出了两个结论, 即对任意$mathcal{B(H)}$中的算子$T$有(1)$overline{W({widetilde{T}})}subseteq overline{W(T)}$及(2)$overline{W(widetilde{T})}=overline{W(widetilde{T}^{(*)})}$成立.最近,刘秀梅在文[3]中又进一步证明了$W(widetilde{T})=W(widetilde{T}^{(*)})$依然是成立的.本文就是在此基础上对$T$, $widetilde{T}$及$widetilde{T}^{(*)}$的本性数值域,极大数值域以及本性极大数值域加以讨论, 主要内容如下：

第一章主要就算子$T$以及它的Aluthge变换$widetilde{T}$,$^{*}$-Aluthge变换$widetilde{T}^{(*)}$的本性数值域之间的关系展开讨论.首先介绍了Aluthge变换的定义及基本性质,在第二小节证明了$ forall Kin mathcal{K(H)}$,$ widetilde{T+K}-widetilde{T}in mathcal{K(H)},$从而进一步证明了$W_{e}({widetilde{T}}) subseteq W_{e}(T)$.
与此同时我们证明了$widetilde{T}$和$widetilde{T}^{(*)}$具有相同的本性数值域这一结论.在本章的最后对这三个算子的Weyl谱, Kato谱及约化点谱的一些包含关系进行了简单的讨论.

第二章主要研究了$T$, $widetilde{T}$和$widetilde{T}^{(*)}$的极大数值域,
本性极大数值域之间的关系,给出了三个主要结论,即(1) $W_{0}(T)subset overline{W(widetilde{T})}$; 若$|T|=|widetilde{T}|$, 则$W_{0}(widetilde{T})subset W_{0}(T).$ (2)对任意的$lambdain mathbb {C}$有$W_{0}(widetilde{T}-lambda)=W_{0}(widetilde{T}^{(*)}-lambda)$成立.(3) $essW_{0}(widetilde{T}-lambda)=ess
W_{0}(widetilde{T}^{(*)}-lambda)$对于任意的$lambdain mathbb{C}$成立. 最后对这三个算子的Drazin逆,Moore-Penrose广义逆作了简单的讨论.