2018年广东省培养单位华南植物园603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为 2．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
其中t 为任意常数.
线性表出，也可
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，
设
对矩阵（AE
）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B
对应的三列分别为
即满足
AB=£；的所有矩阵为
其中为任意常数.
3
． 设B 是
（I ）证明（II ）证明（III ）若【答案】⑴
矩阵
逆
其中E
是n
阶单位矩阵.
且A 可对角化，求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或
1.
4． 设二次型
（Ⅰ）用正交变换化二次型
（
Ⅱ）求【答案】（Ⅰ）由
矩阵
A 满足
AB=0, 其中
为标准形，并写出所用正交变换；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重），
根据
值是0, 0, 6.
设有
对
正交化，令的特征向量为
有
则
是
的线性无关的特征向量.
由此可知，是矩阵
A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A
的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
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