2018年广西大学林学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
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2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（一）.... 2 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（二）.. 10 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（三）.. 20 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（四）.. 29 2018年广西大学林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题（五）.. 35
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
2． 已知实二次
型
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
的矩阵A ，满
足
且其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
则与—j 正交，于是有
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ
）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型
3．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为
的基础解系为：
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令
4
． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ）证明[!
【答案】（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形
；
则有
. 方阵B 满足题意.
且秩
的值
.
即或
贝
因为
A 是
是正定矩阵，并求行列式
为矩阵A 的特征值，对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，所以必可对角化，且秩于是
那么矩阵A 的特征值为
：
1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
故
的规范形为
所以
矩阵B 的特征值是：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，
因此B 是正定矩阵，且
二、计算题
5． 利用逆矩阵解下列线性方程组：
【答案】将方程组写作矩阵形式Ax=b, 这里，A 为系数矩阵，为常数矩阵.
（1）因
故A 可逆，于是
为未知数矩阵，b