2018年广东省培养单位华南植物园603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
2．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3
个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
3． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
是3维线性无关列向量，且
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令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与
B 相似
.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为
-1, -1，-1.
对于矩阵B
，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量那么由：即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1的所有特征向量是全为0.
（Ⅲ）由 4．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，
并求所有矩阵C.
知
故
芄中
不
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B.
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