2018年天津师范大学物理与材料科学学院645量子力学之量子力学导论考研强化五套模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
2． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
3． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
4． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
时有确定的测值。
5． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量
用算符表示，
当体系处于某个能量态
的作用是得到这一本征值，即
当体系处于一般态
的本征态
时，算符对
的作
时，算符对态
用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即
6． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
7． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是
相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
8． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
9． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
10．试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
二、证明题
11．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】
所以
12．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
这就意味着，此态要么是自旋朝上要么自旋朝下
和
即都为自旋分量的本征态。在
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
三、计算题
13．若两个中子的相互作用哈密顿为是什么。（设没有外场）
【答案】解法一：
设总自旋
则:
其中g 为作用常数，和
分别为两个中子的自
旋算符， 求分的本征值和本征函数。如果同时计入中子的空间波函数，则两中子体系的总波函数
而两中子的自旋波函数只有四种情况（即有4个本特征态）。 自选交换对称波函数：
自旋交换反对称波函数：
显然
与
对易，二者有共同的本征态：
即的本征值为
的对应波函数为
即的本征值为解法二：选择的本征态为对应特征值因为
时对应的函数为
表象（因为
（对应特征值的本征态，
），对应本征值
相互对易）。
（对应本征值本征态为
）。
对易，所以两中子的体系的波函数可以由
的本征态的乘积构成如下四种情