题目：一类聚合方程的适定性理论

流体动力学方程是当前数学物理界关注的重要问题之一.例如3维Navier-Stokes方程光滑解的整体适定性是著名的千禧问题.到目前为止, 还没有发现有效的解决方法.许多数学家在Navier-Stokes方程的研究中取得了一系列进展. 例如,Leray在1934年证明了Navier-Stokes方程至少存在一个整体弱解.Caffarelli-Kohn-Nirenberg证明了适当弱解的奇异点集的一维抛物Hausdorff测度为零.Beale-Kato-Majda用涡度刻画了爆破准则,表明涡度的聚积是奇性产生的主要原因. 法国学派,特别是Cannone-Meyer率先用调和分析技术来研究不可压流体动力学方程.Cannone对一类高频震荡的初值给出了整体适定性和自相似解的存在性. 最近,中国学者Chen-Miao-Zhang通过开发线性算子的阻尼效应,进一步利用调和分析技术,对一类具有高频震荡初值的可压的Navier-Stokes方程给出了整体结果.著名的数学家Louis Nirenberg认为,调和分析是解决此类问题行之有效的方法. 现代调和分析方法,特别是Littlewood-Paley理论在研究流体动力学方程中发挥着越来越重要的作用.关于流体动力学方程的理论研究主要包括适定性(存在性, 唯一性,稳定性)与奇性传播(爆破准则)等. 适定性理论不仅是数学家普遍关心的问题,同时对物理学家也有指导意义. 除了Navier-Stokes方程以外,大量研究工作集中在MHD方程, Quasi-Geostrophic方程, Boussinesq方程等.但对chemotaxis-Navier-Stokes方程的研究并不多.本文主要研究一类由chemotaxis和Navier-Stokes方程耦合的聚合方程的适定性理论,此问题也有鲜明的物理意义. 本文具体内容如下:第二章是预备知识, 介绍一些本文要用到的调和分析中常见的基本工具.特别的, 介绍基于Littlewood-Paley理论所刻画的函数空间-Besov空间.除此之外, 还规定了一些记号与定义.第三章我们主要研究chemotaxis-Navier-Stokes方程的局部适定性.由于此模型的非线性结很构复杂, 为了充分利用象征的代数结构,我们在更广的空间-Besov空间研究其适定性. 一方面,我们采用Chen-Miao-Zhang的方法来构造迭代序列,其优势在于所构造的迭代序列能够保持散度自由结构. 另一方面,我们充分利用权函数的性质, 获得了逼近解的一致估计. 与$L^2$框架不同,这里($L^p$框架)无法利用正交性处理压力$P$. 通过散度自由的条件,我们可以反解出压力$P$, 同样可以达到目的. 除此之外,我们还给出了一个新型的爆破准则.第四章我们建立2维chemotaxis-Navier-Stokes方程关于粗糙初值的整体适定性.第一步, 通过观察方程的结构, 我们引进Zygmund空间,首先建立$|n|_{Llog L}$估计及 $sqrt n$的能量估计. 第二步,利用$c$的耗散结构和光滑效应, 得到$c$的高阶导数估计. 第三步,借助前两步的估计, 我们可以得到$n$的$L^2$能量估计,从而得到整体的先验估计, 进而获得整体适定性. 与此同时我们还将在较低的正则性空间证明唯一性.第五章我们证明3维chemotaxis-Navier-Stokes方程关于轴对称初值的整体存在性.对一般情况, 此模型比Navier-Stokes方程复杂,许多学者在去掉对流项$ucdot
a u$后得到了一些结果.但是对于一些特殊结构的流体, 我们还是能够得到一些好的结果.利用轴对称无旋流体的几何结构, 我们可以得到新的守恒量, 从而可以给出整体估计. 与2维的情形相比, 我们需要$n$的$L^p$估计,而且进一步要估计$c$和$u$的高阶导数, 从而获得了与2维类似的先验估计,最终证明方程的解是整体存在的, 不幸的是唯一性仍然是公开的.第六章我们主要对其他一些流体模型进行研究,包括3维MHD方程解的唯一性和爆破准则,$d$维Aggregation方程的适定性理论及2维Maxwell-Navier-Stokes方程的无阻力极限问题.