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一、简答题

1． 现有三种能级【答案】一维谐振子．

2．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

的对易关系.

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

二、选择题

3． （1）

_____；（2）

_____。

【答案】

4． 角动量算符满足的对易关系为【答案】

5． 给出如下对易关系：

_____，坐标和动量的对易关系是_____。

【答案】

6． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】

的可能值为_____

为归一化波函数的平均值为_____。

为归一化的球谐函数，则

三、计算题

7． （1）求算符的对易关系. （2）证明其中

【答案】⑴

即算符不对易.

⑵

则

得证.

8． 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到的微扰作用。（1）利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. （2）指出所得结果的适用条件. 【答案】（1） 一维无限深方势阱：

体系的零级近似波函数和零级近似能量

求到二级，矩阵元一般形式

则第n 能级的二级近似能量

（2）结果适用的条件是：

即

9． 自旋为的一定域电子在均匀磁场子处 在

的本征态上，求t ＞0时测量

中运动，磁作用势为的可能取值及相应的几率。

设t=0时刻，电

【答案】的本征态矢与本征值为：

任意t 时的态矢为：

可能取值为

对应几率为

10．求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，

哈密顿量为

【答案】记常数，且x ，p 换为

则哈密顿量可时的哈密顿量

对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以

11．对于自旋的体系，求量

得

的概率和

的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测

相比，相差一

的平均值。

设本征态

本征值为则：

【答案】