2018年黑龙江八一农垦大学动物科技学院614数学(农科)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
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再将单位化，得正交矩阵：
且有 3．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，
并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设
则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使
C 存在
，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中为任意常数.
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4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
二、计算题
5．
求一个正交变换把二次曲面的方程
【答案】记二次曲面为f=l, 则f 为二次型，它的矩阵为
由
所以A
的特征值为对应于
解方程Ax=0, 由
化成标准方程.
得单位特征向量对应于特征值
解方程（A —2E ）x=0.由
得单位特征向量
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