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一、解答题

1．

设的所有矩阵.

【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：

E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E

得到方程组Ax=0

同解方程组得Ax=0

的一个基础解系为

（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如

下：

由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为

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即满足AB=

£；

的所有矩阵为其中为任意常数.

2． 已知A 是

3阶矩阵，

（Ⅰ）证明：（Ⅱ）设

【答案】（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

求

是3维非零列向量

，若

线性无关；

且

线性无关

.

令

非零可知，

是A 的个

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0

,

所以必有线性无关；

（Ⅱ）因为,

所以

即

故

3． 已知实二次型

的矩阵A ，满足且其中

（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ）求出二次型

的具体表达式.

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【答案】（Ⅰ）由由

知

，B 的每一列

满足

知矩阵A

有特征值

即

是属于

A 的特征值.

则

与

—

j 正交，

于是有

令

的线性无关特征向

显然

B 的第1

, 2列线性无关

，量，

从而知A

有二重特征值

设

对应的特征向量为

解得

将

正交化得：

再将正交向量组

单位化得正交单位向量组：

令

（Ⅱ）由于

则由正交变换

故

化二次型为标准形

故二次型