2018年黑龙江八一农垦大学农学院614数学(农科)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
2．
设三维列向量组
线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
3． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
所有非零解
_
t 为任
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解
，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
的基础解系是
与由
的解.
对
故原方程组的通解为
（3
）当（4
）当
4． 已知
A
是
即
矩阵，齐次方程组
时
此时方程组无解.
又知齐
次方程组Bx=0的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
有非零公共解，
求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，
有
得到所以矩阵
的基础解系为
（
Ⅱ
）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为
由
对
线性表出，故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，解出
因此，Ax=0与Bx=0的公共解为
其中t 为任意常数.
二、计算题