2018年湖北大学数学与计算机科学学院602高等数学与线性代数之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
是3维线性无关列向量，且
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
芄中
不
知
故
2． 设A
为
的解为【答案】
由
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
3． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
求
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
是3维非零列向量，若线性无关；
且
线性无关.
令
非零可知，是A 的个
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
故
4．
设矩阵求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
二、计算题
5． 设
证明向量组
【答案】
列向量组
其中系数矩阵K 为
其行列式由（3
）式即得），
从而
与
，
此表明
等价.
，故K 可逆.
能由
线性表示（其表示的系数矩阵为
与向量组
和
等价.
依次构成矩阵A 和B ，于是有B=AK，（3）
6． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.
【答案】若x 满足Bx=0, 则ABx=0, 即Cx=0.
若x 满足Cx=0, 即ABx=0, 因A 为列满秩矩阵，知方程Ay=0只有零解，故Bx=0. 综上即知方程Bx=0与Cx=0同解.
7． 验证明：
与向量线性空间.
【答案】
事实上
与
均是
中与向量
不平行的向量，但它们的和
平
不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成
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