2018年安徽农业大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2．
设的所有矩阵.
为任意常数.
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4
×3矩阵，设对矩阵（
AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵
B 对应的三列分别为
即满足AB=£；的所有矩阵为其中为任意常数.
3． 已知
与
相似. 试求a , b , c
及可逆矩阵P ，
使
【
答案】由
于故
B 的
特征
值为
从而B 可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
由
得A ，B 有相同特征值，
故
即a=5.
再由
得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
则P 可逆，
且
4．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征