2017年陕西师范大学计算机科学学院603高等数学(Ⅱ)考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a ，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心.
【答案】如图所示，按题设，面密度
. 由对称性知
。
图
因此，所求质心为
。
2． 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?
2
【答案】设最外一圈波的半径为r=r（t ）。圆的面积S=S（t ）。在S=πr 两端分别对t 求导，
得
当t=2时，代入上式得
3． 求曲线
在与x 轴交点处的曲率圆方程。
得曲线与x 轴的交点为（l , 0）。
则
【答案】解方程组
, 故
设曲线在点（l , 0）处的曲率中心为
曲率半径
因此所求的曲率圆方程为
4． 下列各题中，函数f （x ）和g （x ）是否相同? 为什么
?
【答案】（l ）不同，因为定义域不同。 （2）不同，因为对应法则不同，
（3）相同，因为定义域、对应法则均相同。 （4）不同，因为定义域不同。
5． 求幂级数
在其收敛域内的和函数。
【答案】先求题设幂级数的收敛域。 因为
所以收敛半径设和函数为
，则
又
于是得
即
可得
从而所求的和函数为
6． 一金属棒长3m ，离棒左端xm 处的线密度的质量为全棒质量的一半。
【答案】[0, x]一段的质量为总质量为m （3）=2，要满足
7． 求位于曲线
由于该切线过原点，因此有如图所示所求面积为
，解得x 0=1，y 0=e, 即切线方程为
，求得
。
。问x 为何值时，[0，x]一段
，从而收敛域为
。
下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形面积。
x0
x0
【答案】先求曲线过原点的切线方程，设切点为（，y 0）, 其中y 0=e，
则切线方程为
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