2017年陕西师范大学计算机科学学院603高等数学(Ⅱ)考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 下列各题中，函数f （x ）和g （x ）是否相同? 为什么
?
【答案】（l ）不同，因为定义域不同。 （2）不同，因为对应法则不同，
（3）相同，因为定义域、对应法则均相同。 （4）不同，因为定义域不同。 2． 计算
（1）抛物线
，其中L 是：
上从点（1，1）到点又（4，2）的一极弧；
（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；
，然后再沿直线到点（4，2）的折线; （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2）（4）曲线
上从点（l , l ）到点（4, 2）的一段弧。
，y 从1变到2，则
（2）L 的方程为有
（3）记L 1为从点（1，1）到点（1，2）的有向线段，L 2为从点（1，2）到点（4，2）的有向线段。则L 1: x=l，y 从1变到2;
，x 从l 变到4。在L 1上，dx=0; 在L 2上，dy=0。于是
，即
，y 从1变到2。化为对y 的定积分计算，
【答案】（1）化为对y 的定积分。
因此
（4）由
，可得t=0；由
可得t=1。因此
3． 计算以xoy 面上的圆周柱体的体积.
【答案】如图所示，设
由于曲顶柱体关于zox 面对称，故
围成的闭区域为底，而以曲面:
为顶的曲顶
图
4． 设m=3i＋5j ＋8k ，n=2i-4j-7k和p=5i＋j-4k. 求向量α=4m＋3n-p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.
【答案】 α=4m＋3n-p=4（3i ＋5j ＋8k ）＋3（2i-4j-7k ）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k, α在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.
5． 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小:
，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线x+y=1
所围成；
，其中积分区域D 是由圆周
围成；
，，，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为（1, 0）（1, 1）
；
（2, 0）
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，
，故有
根据二重积分的性质4，可得
（2）由于积分区域D 位于半平
面
。从而
（3）由于积分区域D 位于条形区域
，从而有
。因此
（4）由于积分区域D 位于半平面而
，因此
6． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.
【答案】设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处. 平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设
所
。
内，故在D 上
有
。
内，故知区域D
上的点满足
内，故在D 上有，从