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一、填空题

1． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。 【答案】本征值；定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.

2． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。

【答案】对称性；反对称性

3． 总散射截面Q 与微分散射截面 【答案】

4．

一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】

5． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

则

的关系是_____。

、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

6． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率

二、简答题

7． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即

8． 写出电子在外电磁场【答案】

中的哈密顿量。

9． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

10．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

11．什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

12．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

13．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为

14．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

为实函数，但

可以为复函数。

定义电子的自旋算符，并验证它们

三、计算题

15．一粒子在力学量的三个本征函数所张成的三维子空间中运动，其

能量算符

和另一力学量算符的形式如（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由

令

可得

其中a , b为实数。 表示）：

由久期方程可得：解得能量算符的三个本征值

将式中各个值代入式中可以得到

其中k 为

的平均值，而

其中由

为3行的任意列矩阵，则式和

式可知

即的平均值不随时间变化.