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一、填空题

1． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____.

A.025

B.033

C.011

D.067

（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____.

A.019

B.072

C.033

D.050

【答案】（1）B

【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，

即所求概率为

（2）A

【解析】取x 为原点，则有波函数为

所求概率即

2． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。

【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子

3．

为氢原子的波函数（不考虑自旋）， 分别称为_____量子数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。

【答案】主；角；磁；

4． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。

【答案】本征值；定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就

导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.

5 用球坐标表示，．粒子波函数表为写出粒子在球壳

【答案】 中被测到的几率_____。

6． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换

的整数倍；对称变换

二、简答题

7． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。

【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符

数。

（3）将体系的状态波函数用算符的本征函数展开：

则在

盔中测量力学量得到结果为

（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程其中是体系的哈密顿算符。 的几率是

得到结果在

范围内的几率是得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函

（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。

8． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？

【答案】不妨设这组算符为

. 则对任意波函数完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

依题意

9． 写出电子在外电磁场

【答案】中的哈密顿量。

10．斯特恩—革拉赫实验证明了什么？

【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。

（2）空间量子化的事实。

（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。

11．请用泡利矩阵

满足角动量对易关系。

【答案】电子的自旋算符其中， 定义电子的自旋算符，并验证它们

12．反常塞曼效应的特点，引起的原因。

【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂；

（2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关；

（4）由于电子具有自旋。

13．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。

【答案】不同意。因为为实函数，但可以为复函数。

14．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。

【答案】对易关系为 测不准关系为

三、计算题

15．设粒子从入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，

如果粒子能量

（1）写出波动方程式并求解；

（2）求透射系数；

（3）求反射系数并求与透射系数之和.

【答案】（1）粒子波动方程为

令 试 而当x ＞0时

，