2017年福建省培养单位福建物质结构研究所811量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
目录
2017年福建省培养单位福建物质结构研究所811量子力学考研导师圈点必考题汇编（一） ... 2 2017年福建省培养单位福建物质结构研究所811量子力学考研导师圈点必考题汇编（二） ... 8 2017年福建省培养单位福建物质结构研究所811量子力学考研导师圈点必考题汇编（三） . 16 2017年福建省培养单位福建物质结构研究所811量子力学考研导师圈点必考题汇编（四） . 22 2017年福建省培养单位福建物质结构研究所811量子力学考研导师圈点必考题汇编（五） . 30
第 1 页，共 37 页
一、填空题
1． （1）体系处在用归一化波函数算符的本征函数系展开. 即
描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米认为
是归一的，则决定系数的表达式为_____。
_____。
（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）
以及正交归一化条件
在上式两边乘以
有
并积分得
（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结
【解析】由平均值定义式（3）
为确定
在上式两边乘以有
而概率应该为为定值.
2． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.
3． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。
【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。
第 2 页，共 37 页
有
【解析】由题意考虑到正交归一化条件
并积分得
4． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
5． —个电子运动的旋量波函数为
则的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
的跃变条件为_____。
则表示电子自旋向上、位置在处
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
6． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.
；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）
【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.
二、简答题
7． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
8． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
9． 什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
10．—个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
11．量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
第 3 页，共 37 页
12．电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
13．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.
叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.
14．已知为一个算符满足如下的两式么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合
问何为厄密算符？何为
三、证明题
15．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
16．证明，
【答案】因为
可得：
四、计算题
17．设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成
所需的最短时间
（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.
即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.
【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：
第 4 页，共 37 页