2018年首都师范大学数学科学学院902物理基础之量子力学导论考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性
2． —个电子运动的旋量波函数为
则表示电子自旋向上、位置在处
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】 3．
表示_____，几率流密度表示为_____。
【答案】几率密度；
4．
当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.
【答案】测量的干扰
【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.
5． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】 6．
【答案】主；角；磁；
中运动，其状态波函数
为氢原子的波函数（不考虑自旋），
分别称为_____量子
数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。
二、简答题
7． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
8． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
测不准关系为
9． 什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
10．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
11．写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
12．在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
13．什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：
14．—个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
三、计算题
15．一自由的三维转子的Hamiltonian
为（1）求能谱与相应的简并度；
式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。
（2）若给此转子施加以微扰已知：
求基态能级移动（直至二阶微扰）.
【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱
（2）转子在基态非简并时，故
其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .
一级修正能量
故由微扰引起的能级移动为
16．中子的自旋也为
磁矩为
不妨取
在
表象中，
设自旋波函数为
若中子处于沿y 方向的均匀磁场中，求自旋波函数。
）
二级修正能量
【答案】体系的哈米顿基为：
则能量本征方程为：
久期方程为：由此可得：（1）当自旋波函数为：
时，由
并结合归一化条件
可得
（2）同理，当
时，可得自旋波函数为：
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