2017年吉林大学原子与分子物理研究所957量子力学(需携带计算器)考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
，（常数）
同理，可得
因此：
2． 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
所以有：
试证明
的不确定关系
：
二、计算题
3． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数
也属于正幂次级数，故有定态方程
式中：
则I 式可以化为：令
上方程可化简为
式解得
4． 二电子体系中，
总自旋【答案】（
写出（
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
则
中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应
【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而
其中C 为归一化常数。
）的归一化本征态记为则自旋单态为：
自旋三重态为：
5． 考虑在无限深势阱（0＜x ＜a ）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，写出体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。 【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：
（1）基态：
空间部分波函数是对称的
：自旋部分波函数是反对称的：总波函数为：
（2）第一激发态：空间部分波函数：
自旋部分波函数：
二电子体系的总波函数为：
基态不简并，第一激发态是四重简并的。
6． 验证球面波
满足自由粒子的薛定谔方程：
（注：【答案】
故
其中
代表仅与角度有关的微分算符）
则
故
由（1）（2）（3）式可得
7． 设两个电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是能和u （r ）相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。
【答案】这个一个两电子体系，属于费米子系统。在不考虑电子之间库仑相互作用的情况下，有：
其中
分别为谐振子第m 、n 个能量本征函数。
（2）当
时，由这两电子组成的体系波函数为：
其中：
如果电子之间的库仑
此即所需证明方程.
（1）当m=n时，由这两电子组成的体系波函数为：
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