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一、证明题

1． 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

2． 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

因而有：

二、计算题

3． 在自旋向上的状态中，测量有哪些可能的值？这些可能的值各以多大的几率出现？ &的平均值是多少？

【答案】（1）自旋角动量在空间任意方向在表象，的矩阵元为：

的投影为：

其相应的久期方程为：即：

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利用解得：

可得：

所以，的本征值为（2）设对应于

的本征函数的矩阵表示为则：

由归一化条件，得：

可见，的可能值为而

4． 简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为

即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

5． —体系初始时刻的态为

（1）求（2）如果对（3）如果对

其中

进行了测量，并得到结果

计算不确定度可得

及它们的乘积

相应的几率为

测量，能得到哪些结果？相应的概率又是多少？

【答案】（1）由公式

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故

（2）由题意，m=-l，0, 1

而

概率

概率

概率（3）易知

于是有

.

本征值为

故

可能测得值为

因此

6． —自旋中的矩阵为

（1）不考虑空间运动，由求任意时刻f 的波函数

的粒子的哈密顿算符

为实常数。

确定自旋运动定态能量. 与定态波函数并求

和

的几率。

已知

时，

其中，

，

在表象

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