2017年西北师范大学物理与电子工程学院813量子力学(含原子物理)之量子力学导论考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、简答题
1. 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来,你认为这与什么量子效应有关?
【答案】与量子隧穿效应有关。
2. 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态?
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时,波函数趋向零,称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态,则称该本征值是简并的,所对应的本征态即为简并态,本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号,若新波函数与原波函数相差一个负号,则称其为负宇称态。
3. 斯特恩—革拉赫实验证明了什么? 【答案】(1)半整数内禀角动量在存在。 (2)空间量子化的事实。
(3)电子自旋磁矩需引入2倍关系。
4. —个量子体系处于定态的条件是什么?
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
5. 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后,所描写的体系量子状态是否改变? 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释,描写体系量子状态的波函数是概率波,由于
粒子必定要在空间中的某一点出现,所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1,因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
6. 如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时,问该力学量是否有确定的值? 【答案】是,
其确定值就是在本征态的本征值。
7. 扼要说明:
(1)束缚定态的主要性质。
(2)单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
【答案】(1)能量有确定值。力学量(不显含f )的可能测值及概率不随时间改变。 (2)选择定则:
理论根据:电矩m 矩阵元
8. 何谓正常塞曼效应?何谓反常塞曼效应?何谓斯塔克效应?
【答案】在强磁场中,原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中,原子发出的
每条光谱线都分裂为
条(偶数)的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中,它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
9. 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
10.自旋可以在坐标表象中表示吗?
【答案】自旋是内禀角动量,与空间运动无关,故不能在坐标空间表示出来。
二、证明题
11.(1)对于任意的厄米算符,证明其本征值为实数. (2)证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. (3)对于角动量算符
证明它是厄米算符,并且求解其本征方程.
因为存在
数
(2)证:因为而(3)因为
所以
即正交
而
所以
设本征方程为
其中为本征值,上式可改写为
易解出
C 为积分常数,可由归一化条
即为厄米算符。
具有周期性,
所以
即本征值为实
【答案】(1)证:对于厄米算符
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制,
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
12.试证明,表象经么正变换后,不改变算符本征值。 【答案】设可得:
(其中
为幺正变换,则:
)
可见,本征值不变。
即角动量z 分量的本征值为
是量子化的,相应本征函
再利用归一化条件可得
三、计算题
13.自旋为时,粒子处于(2)求出t >0时
固有磁矩为
的状态。
的可测值及相应的取值几率。
(其中为实常数)的粒子,处于均匀外磁场
中,设t=0
(1)求出t >0时的波函数; 【答案】(1)体系的哈密顿算符为在泡利表象中,哈密顿算符的本征解为:在t= 0时,粒子处于为了求出
的状态,即
在泡利表象中的具体形式,需要求解满足的本征方程:
解得:于是,有:
由于,哈密顿算符不显含时间,故/>0时刻的波函数为:
(2)因为
所以是守恒量,它的取值几率与平均值不随时间改变,换句话说,只要计
算t=0时的取值几率就知道了t >0时的取值几率。 由于
的取值几率为:
故有: