2017年西南交通大学物理科学与技术学院869量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、简答题
1． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
2． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
3． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。
【答案】不同意。因为
4． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子
如果
为实函数，但
对整个空间积分也等于1。
可以为复函数。
对整个空间积分等于1，则
去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的
归一化。
5． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系时有确定的测值。
6． 写出泡利矩阵。 【答案】
7． 波函数【答案】
与
是否描述同一状态？
描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
8． —个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
9． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
10．写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】
二、证明题
11．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意
并在方程两边同时积分
又
则
则由正交归一化条件有
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为
试证明这两个波函数对应的态矢正交.
是束缚态的波函数，
态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有
此即亦即两个波函数对应态矢正交.
12．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
要么自旋朝下
和
即都为自旋分量的本征态。在
这就意味着，此态要么是自旋朝上
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
三、计算题
13．设氢原子处于状态：
（a ）测得该原子的能量的可能值为多少? 相应的概率又为多少？
（b ）测得的角动量分量的可能值和相应概率为多少?[湖南大学2009研] 【答案】（a ）氢原子能级
对应概率为：
对应概率为：
（b ）由题意，m=l, ﹣1，0
而可能取值为故
可能取值有
对应概率
对应概率
对应概率
a 为玻尔半径. 故氢原子可能能量为
14．设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，
将
用
【答案】
和E. ，表出，其中
是能量本征值为E. ，的本征矢。