2017年闽南师范大学数学与统计学院912高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:
【答案】（1）容易求出此级数的收敛半径为1，当
时，
在上式两端对x 求导得
又原级数在
处发散，故它的和函数
（2）不难求出此级数的收敛半径为1，当
时，
有
在上式两端分别从0至x 积分，并由于
又原级数在
处均发散，故它的和函数
（3）记级数为
其收敛半径为1，当
时，有
在x=0处收敛于0，故得
在上式两端分别从0至x 积分，并注意到在x=0处收敛于0，故得
又原级数在处均匀发散，故它的和函数
当
当
时，
（4）容易求得此级数的收敛半径为1，收敛域有
其中
2． 计算二重积分
【答案】
令
，得
3． 计算
其中为圆锥面
被平面的上侧，
则
围立体，则
所截下的有限部分的外侧。 构成封闭曲面的外侧，
令
为
所
，其中区域D 由曲线
与极轴围成.
故原级数的和函数
【答案】由于积分曲面不是封闭曲面，故不能直接使用高斯公式，故作辅助平面
而平面
可知
，则
4． 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值:
【答案】（1）积分区域D 如图1所示. 在极坐标系中，有
于是
，故
（2）如图2所示，在极坐标系中，有
图1 图2