● 摘要
随着计算机科学的迅速发展, 关于计算机科学的数学基础研究越来越受到人们的重视, 已成为数学和计算机科学研究者共同关注的领域. 产生于上个世纪70年代初的Domain理论和80年代的Quantale理论正是这样的两个重要交叉领域, 它们各自独立发展, 但从共同的数学基础来看, 二者均基于数学中三大基本结构之一的序结构理论, 同时与拓扑、代数、范畴、逻辑等学科有着密切的联系. 尽管Domain理论与Quantale理论有着各自不同的研究对象和特点, 但它们在一些方面是相互渗透和相互影响的, 例如Quantale理论在量化Domain理论中的应用. 自2000年以来, 模糊集理论被应用到量化Domain理论中, 形成了模糊Domain理论. 本文一方面是对模糊Domain理论展开进一步的研究, 另一方面是将模糊集理论应用到Quantale理论中, 进行Quantale理论的模糊化研究. 本文的主要内容安排如下:
第一章 预备知识. 本章给出了与本文相关的格论、逻辑代数、范畴论以及模糊偏序集方面的概念和结论.
第二章 模糊偏序集的并完备化. 首先给出了模糊偏序集的并完备化的概念,证明了在等价的意义下, 模糊偏序集(X,e)的并完备化是由LX上的相容的模糊闭包算子完全决定的. 其次研究了并完备化的万有性质. 最后给出了模糊偏序集的Dedekind-MacNeille完备化的范畴刻画.
第三章 Φ-连续的模糊偏序集. 首先讨论了weight类的相关性质, 给出了模糊完备格之间保模糊并映射的一些等价刻画. 其次得到了Φ-连续的模糊偏序集的相关性质,讨论了Φ-连续的模糊偏序集在一些特殊映射下的像仍是Φ-连续的模糊偏序集. 最后研究了L-滤子的模糊SΦ-收敛.
第四章 Φ-代数的模糊偏序集. 首先引入了Φ-代数的模糊偏序集的概念, 得到了Φ-代数的模糊偏序集的一些性质. 其次讨论了Φ-同态的性质, 给出了模糊偏序集的分类定理,将Hoffmann在分明情形下的分类定理推广到饱和的weight类的框架下. 最后研究了Φ-完备的模糊偏序集上的基和权, 讨论了模糊偏序集范畴与Φ-代数的模糊偏序集范畴之间的关系,证明了以Φ-代数的模糊偏序集为对象,以Φ-同态为态射的范畴ΦAFPOSH等价于以模糊偏序集为对象, 以保模糊序映射为态射的范畴 FPOS. 还证明了以模糊偏序集为对象, 以Φ-映射为态射的范畴FPOID对偶等价于以Φ-代数的模糊偏序集为对象,以Φ-态射为态射的范畴ΦAFPOSM.
第五章 模糊Quantale. 首先通过模糊Galois伴随给出了模糊Quantale的定义, 并给出了模糊Quantale的相关例子. 研究了模糊Quantale上的核映射和余核映射. 其次引入了模糊Girard quantale的概念, 证明了模糊Girard quantale上的L-核映射和L-理想余核是一一对应的. 最后讨论了模糊序半群的模糊Quantale完备化, 证明了在同构的意义下, 模糊序半群(S,.,e)的模糊Quantale完备化是由LS上的拓扑模糊闭包算子完全决定的.
第六章 模糊Quantale范畴. 本章首先证明了模糊Frame范畴是模糊Quantale范畴的反射满子范畴. 其次证明了模糊Quantale范畴同构于L-代数范畴. 最后给出模糊Quantale范畴的极限和逆极限结构.
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