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一、计算题

1． 甲、乙、丙三个城市每年需要煤炭分别为:320、250、350万吨，由A 、B 两处煤矿负责供应。已知煤 炭的年供应量分别为:A —400万吨，B 一450万吨。由煤矿至各城市的单位运价（万元/万吨）见表1。由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0~30万吨，乙城市需求量应全满足，丙城市供应量不少于270 万吨。试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。

表

1

【答案】甲、乙、丙三个城市每年的煤炭总需求量为:320+250+350=920（万吨），A 、B 两处煤矿年煤炭总供应量 为850万吨。可见供少于需，故虚拟一个产地煤矿C ，其供应量为70万吨，由题意可构造如表2的运价表。 问题变为求解表2的最优调运方案。

表

2

第一步:用伏格尔法求初始可行解，求得的初始解，如表3科所示。

表

3

第二步: 用位势法进行最优解的判断。在对应于表3的数字格处填入单位运价，并增加一行一列，在行中填入vj ，在列中填入

并依据。令u 1=0，按照表

4 求出所有的和vj ，计算所有空格处的检验数，计算结果如表4所示。

由表4可知，所有空格处的检验数均为非负。所以，表3中的运输方案即为此问题的最优调运方案， 最小运价为14650万元。

2． 下述论断正确与否:可行流f 的流量为零，即v （f ）=0，当且仅当f 是零流。

【答案】论断错误。

流量

，但f 不是零流。

3． 表是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。表中无人工变量，a 1、a 2、a 3、d 、c 1、c 2为 待定常数。试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。

（l ）表中解为惟一最优解;

（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解;

（3）该线性规划问题具有无界解;

（4）表中解非最优，为对解改进，换入变量为x 1，换出变量为x 6。

表

，只表明发点的净输出量为零，可能流出等于流入，

此时

【答案】（l ）当

（2）当（3）当且时，表中解为惟一最优解; 时，表中的解为最优解，且原问题有无穷多个最优解; 时，该线性规划问题具有无界解;

（4）当

换入变量为x 1， 换出变量为x 6。 时，表中的解非最优，且满足对解进行改进，

4． 如表是某线规划问题计算过程中的一个单纯形表，目标函数为max z =5xl +3 x2，变量均≥0，约束条件为“≤”类型，x 3，x 4为松弛变量。

表

要求: （1）求出表中的a 、b 、e 、d 、e 、f 和g ;

（2）完整写出该线性规划问题的数学模型;

（3）写出此问题的对偶问题;

（4）表中的解是线性规划问题的最优解吗? 对偶问题的最优解是什么?

【答案】（l ）该过程中，x3，xl 为基变量，因此可得出:e=0，d=1，b=f=0；a= -10/5= -2

×1= -5

（2）由（l ）可知表为

表

1

第一步中x 3，x 4为基变量，知表1是经过一步变化得出

由该方程变化出以x 3，x 4为基变量的方程为:

可得该问题的数学模型为: