2017年昆明理工大学机电工程学院813运筹学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、填空题
1． 某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第1个分量为y l =-12，则该问题的第1个约束条件的右端常数项的对偶价格为:_____。
【答案】-12
【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对偶问题的最优解中相 应的分量的值。
2． 当极大化线性规划模型达到最优时。某非基变量x j 的检验数为马. 当价格系数为c j 的变化量为△c j 时，原 线性规划问题最优解保持不变的条件是_____。
【答案】
，极大化 【解析】x j 为非基变量，其价格系数变化△c j 后，其检验数变为
3． 如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案是否会发生变化: _____。
【答案】不发生变化
【解析】如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案中各变量的 检验数均不发生变化，所以最优调运方案不发生变化。
4． 对于线性规划问题:MaxZ=CX.AX≦b.X ≧0，若B=（P 1，P 2，…，P m ）为A 中m 个线性无关的列向量, 且为该LP 的一个可行基，则对应于基B 的基可行解为:_____，该基可行解为最优解的条件是:_____。
【答案】
，对于一切
有
。
【解析】若B=（P 1，P 2，…，P m ）为A 中m 个线性无关的列向量，
此时令非基变量
， 这时变量的个数等于线性方程组的个数，用高斯消去法，可求得对应
于基B 的基可行解
为
。由最优解的判别定理，若对于一
切
, 则所求得的基可 行解为最优解。
二、证明题
5． 称顾客为等待所费时间与服务时间之比为顾客损失率，用R 表示。
（l ）试证:对于M/M/1模型，（2）在上题中，设
不变而
。
是可控制的，试定
使顾客损失率小于4。
证毕。
【答案】（l ）对于M/M/1模型, 。由定义，有
（2）由
6． 现有一个线性规划问题（P 1）:
，得，所以当 时，顾客损失率小于4。
, 其对偶问题的最优解为Y*=（y1, y2, y3, …ym ）
另有一线性规划（P 2）:
【答案】问题（P 2）的对偶问题为:
问题（P 2）的对偶问题为:
T
其中，d=（d 1, d 2, ...d 3） 。 求证:
易见，问题（P 1）的对偶问题与问题（P 2）的对偶问题具有相同的约束条件，从而，问题（P 1）的对偶问 题的最优解
令问题（P 2）的对偶问题的最优解为
7． 对于M/M/1/N/∞模型，试证
，并对上式给予直观的解释。
一定是问题（P 2）的对偶问题的可行解。 ，则:
。
因为原问题与对偶问题的最优值相等，所以
【答案】若令，
则有
所以
，即
此系统的等待空间有限制，即一旦顾客满N 个，新来的顾客就无法进入系统，此时到达率为零。故这里需 要求出实际进入系统的平均到达率
。由于正在被服务的顾客平均数为
另外，在单位时间内实际进入服务系统的顾客平均数
为
。
8． 设线性规划问题1是
。因此
，
（
）是其对偶问题的最优解。
又设线性规划问题2是
其中k i 是给定的常数，求证【答案】问题1的矩阵表示为
其中
问题2的矩阵表示为
。
设X 1 为它的一个可行解，其对偶问题的最优解为
其中
问题1的对偶问题为
。
设X 2 为它的一个可行解，其对偶问题的最优解为Y 2
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