题目：B(X)上的拟积保持问题相关研究

环$mathcal{R}$中的加法和乘法可以定义一种新的运算$circ$, $forall x,yin mathcal{R}$,$xcirc y=x+y-xy$, 我们称之为拟积运算. 在环中拟积是一种很重要的运算, 如研究,Jacobson 根以及,Lie 拟幂零性等. 拟积可以构成一个半群, 这种半群结构放在算子代数中就成为一个算子半群.
文的主要目的是刻画一类算子代数上的拟积半群同构的特征.

首先我们刻画了$mathcal{B(X)}$上的拟积同构.
在研究过程中我们发现$mathcal B(mathcal X)$上的有限秩算子可以分解为有限个一秩幂等算子的拟积. 这样$mathcal B(mathcal X)$上的拟积保持刻画问题就可以减弱为对$mathcal B(mathcal X)$中一秩幂等算子空间上拟积保持问题的刻画.
可以证得如果拟积同态保持一秩幂等算子不变那么拟积同态保持$mathcal X$上的有界线性算子不变. 应用已知的保持一秩幂等算子乘积可交换性的映射的结论可以得到本章的主要结论：
设$mathcal X$是无限维复$Hilbert$空间, $mathcal B(mathcal X)$ 表示$mathcal X$上有界线性算子全体, 则

(1) 若$dim mathcal X=infty$, 则存在$mathcal X$上的有界可逆线性或共轭线性算子$T$, 使得
$$varphi(A)=TAT^{-1}, forall  Ain mathcal B(mathcal X).$$

(2) 若$2leqdim mathcal X<infty, dim mathcal X=n, $设$mathcal{B}(mathcal X)=mathcal{M}_n$, 则存在一个可逆矩阵$Tin mathcal{M}_n$以及$mathbb C$上的一个环同构$ au$使得
$$varphi(A)=TA_{ au}T^{-1},  forall Ain mathcal{M}_n.$$

我们又研究了$mathcal{B(H)}$上保持拟酉算子映射的特征. 证明了$mathcal{B(H)}$上保持拟酉算子的映射保持投影幂等性的等价条件.
设$mathcal{H}$是复$Hilbert$空间, 且$varphi：mathcal B(mathcal H) ightarrowmathcal B(mathcal H)$一个可加满映射. 设$varphi$双边保持拟酉算子,
%$P,Q$为正交投影，
那么下列条件等价：

(1)$varphi$双边保持幂等算子;

(2)$varphi$双边保持投影算子;

(3)$varphi$双边保持幂等元正交性;

(4)$varphi$双边保持幂等元偏序性.