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一、填空题

1． 总散射截面Q 与微分散射截面

的关系是_____。

【答案】

2． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性

3． 如图所示，有一势场为：

，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。

图

【答案】

4． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说

爱因斯坦后来将此应用到了光电效应

上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.

5． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.

；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）

【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.

6． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率

二、选择题

7． 类氢原子问题中，设原子核带正电核为

为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出

现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E. 【答案】B

8． 在量子力学中. 对每一个物理量A , 都有一个厄米算符

【答案】B

【解析】物理量平均值定义

为

考虑到正交归一化条件

分别为物理量本征值及取值概率，

而和力学量算符的厄米性，于是

与之对应，

若体系处在由波函数

描述的态中. 则在t 时刻. 对物理量A 测量时所得的平均值A. t为（ ）。

9． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】

10．光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？（ ） A.1 B. C. D. 【答案】A

【解析】由德布罗意波长公式

11．已知体系的哈密顿算符为

下列算符

与对易的有_____。

【答案】

波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A.

12．中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C

的共同征函数为

则关于这两个算符的本征值方程正确

三、证明题

13．粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

，（常数）

同理，可得

因此：

14．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

所以有：

试证明

的不确定关系

：

四、计算题

15．设无外势场时，质量为能量为E ＞0的粒子的状态用球面波描写. 试 （1）导出决定S 波（1=0）波函数的常微分方程； （2）求出所有S 波的球面波波函数；

（3）计算对应于S 波解的速度流矢量并作出图示.[南京大学2009研] 【答案】（1）无外势场可看做有心势场的特殊情况. 则粒子在球坐标系中薛定谔方程为

在s 波情况下，令则