● 摘要
本文研究了一类具有时滞的血液模型和密度制约型SIR传染病模型.医学界一直关注的焦点之一就是造血干细胞问题. 本文第二章研究了一类具有时滞的广义血液模型：
的稳定性及Hopf分支. 应用函数的单调性, 证明了模型的正平衡态的存在唯一性; 利用分支理论及周期函数正交性等方法得到了模型Hopf分支存在的充分条件, 给出了分支周期解的近似解析表达式; 通过实例验证了理论分析和数值计算的一致性,并运用Matlab绘制了造血模型数值解的拟合图. 研究表明当造血系统的周期较短, 即时滞较小时, 成熟干细胞的浓度将会达到稳定状态; 而当时滞超过某个临界值时, 成熟干细胞的浓度将呈现出周期变化现象, 并且振幅随着时滞的增大而减小. 因此可以通过调节相应的参数, 使干细胞造血系统达到良好的循环.
近些年来, 一些传染病有蔓延的趋势, 对人类的生命造成严重的威胁. 因此, 研究传染病的传播过程、内在规律对传染病的预防和控制尤为重要. 本文第三章研究了一类密度制约型的具有潜伏期和恢复期的SIR模型：
的稳定性. 讨论了模型正平衡态的存在唯一性, 计算出系统的无病平衡点和地方病平衡点;利用特征值理论分析模型无病平衡点的稳定性; 通过构造Lyapunov泛函分析了地方病平衡点的稳定性; 利用Matlab绘图分析了易感染者与感染者数量随着时间的变化情况, 并对参数赋值, 说明了定理的条件与结论的可实现性. 结论表明当, 则无病平衡点是全局渐近稳定的, 疾病将逐渐消失; 如果, 地方病平衡点是渐近稳定的, 疾病将流行最终导致地方病产生.
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