当前位置：问答库＞考研试题

一、简答题

1． 如果算符

表示力学量那么当体系处于

的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

2． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。

（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。

3． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

4． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

5． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

6． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

7． 现有三种能级【答案】

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应中心库仑势系统，例如氢原子；对应

一维谐振子．

8． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

9． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

10．归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

如果

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

二、计算题

11．取上表达式中

为试探波函数，应用变分原理估算粒子在势场

均为常数，且

利用波函数的归一化

由

可得，

代入可得基态能量

12．已知征值。 【答案】中，

表示力学量，因而是厄密算符，因此，

算符也为厄米算符。可知，

表象

i 算符的本征值均为±1。有：

当设

时，

本征函数为表象中表示为

时，本征函数为

因此有：

从而

中的基态能量. 以

【答案】试探波函数

算符，在表象中给出的矩阵表达式，并示出它们的本征函数及本

由厄米算符的定义，可知a 、c 必为实数，

又

由此有a=c=0, 则再由由

可得：

代入得：

取b=l，可得：

由

分别代回本征方程

同理可得，

的本征值为±1，相应的本征函数为：

13．求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：

【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程

处于定态时有

则有

由于势函数满足（1）满足偶宇称时有则

设

则波函数满足奇宇称或偶宇称.

注意到①有

有

注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则（2）同理，对奇宇称有

可知其相应的本征函数为：

】

】

再考虑到归一化条件