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一、计算题

1． 从（0, 1）中随机地取两个数, 求其积不小于3/16, 且其和不大于1的概率。

【答案】设取出的两个数分别为X 和Y , 则（X , Y ）的联合密度函数为

因为

的非零区域与

的交集为图阴影部分

.

图

所以

2． 一个保险公司有10000个汽车投保人, 每个投保人平均索赔280元, 标准差为800元. 求总索赔额超过2700000元的概率.

【答案】记

为第i 个投保人的索赔额,

. 则

. 由林

德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为

3． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了. 若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E （X ）.

【答案】因为X 的可能取值为0，1，2，…，5，且

将计算结果列表为

表

由此得

4． 设离散随机变量X 服从几何分布以此求E （X ）和

【答案】记

则

它的前二阶导数为

由此可算得几何分布的期望和方差为

5． 设

试问

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为

是否服从大数定律？

即

存在, 所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

6． 某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为

表

【答案】因为

. 试求X 的特征函数, 并

试求顾客在商店平均购买服装件数. 【答案】

7 某烟厂称其每支香烟的尼古丁含量在12mg 以下. 实验室测定的该烟厂的12支香烟的尼古丁含．

量分别为（单位：mg ）:

是否该烟厂所说的尼古丁含量比实际要少？求检验的p 值，并写出结论. 【答案】我们可用中位数来刻画此问题，于是一对假设为

得正值个数为7，检验的p

值为

作差

与0.05比较，我们不能确认该

厂的说法不真实.

8． 设是来自0-1总体b （1, p ）的样本，考虑如下检验问题

取拒绝域为

（1）求p=0，0.1, 0.2，…，0.9, 1时的势并由此画出势函数的图； （2）求在p=0.05时，犯第二类错误的概率. 【答案】（1）势函数的计算公式为：

则p=0，0.1，0.2, …，0.9, 1时的势计算如下表：

表

可用软件计算，如matlab 语句为在P=0.2处达到最小

.

势函数图如图，它

图

p=0.05时，（2）犯第二类错误的概率为可采用如下matlab 语句binocdf （6, 20, 0.05）—binocdf