题目：基于微分几何理论的机电产品健康评估与诊断技术研究

随着机电产品的现代化程度日益提高，结构日益复杂，机电产品的健康评估与诊断成为了当前的热点研究方向。然而由于机电产品内部耦合作用复杂、非线性程度高，而表征健康状态的参数大多具有很强的非线性、非平稳性及非高斯性等特性，健康评估与诊断技术面临较高的挑战。鉴于微分几何理论近年来的发展及其在非线性分析方面的优势，这为处理故障诊断领域的非线性问题提供了一种重要的工具。将微分几何相关技术应用于机电产品的健康评估与诊断中，迎合了研究的需求。本文以微分流形为研究平台，结合流形学习、流形距离及信息几何等相关技术，从信号降噪、特征提取、健康评估与故障诊断等方面研究机电产品的健康状态评估与诊断技术。

研究了基于替代数据的非线性数据检验方法。数据非线性检验是非线性分析的前提。定义关联维数作为检验统计量，并改进了其计算方法，提高了运算速度，且探讨了相空间重构理论及方法，应用C-C法确定嵌入维数与延迟时间，并通过统计置信水平检验数据是否具有非线性。

从微分几何的角度看，信号的降噪过程为：信号的有用部分分布在高维空间中的低维流形上，而噪声的分布则超出该低维流形而存在于其他维度。确定低维流形与噪声子空间，并把数据投影到流形上，即可实现降噪目的。本文深入研究传统局部投影法的不足，从邻域半径选取与噪声子空间确定两方面提出了改进，避免了邻域半径选取的主观性与盲目性，减小重构吸引子与真实吸引子之间的偏差，提高了降噪能力，并克服了噪声较低时产生波形震荡与时序误差的问题。

从微分几何的角度看，特征提取的过程为：不同状态的设备信号在高维空间中呈现不同的流形形态及拓扑结构，提取出流形拓扑结构内在特征，能有效表征设备的健康状态。本文利用流形学习算法（局部切空间排列，LTSA）分析信号所构成的流形，获取内在流形拓扑结构，有效地保留了整体几何信息，并通过奇异值分解（SVD），降低了流形特征的复杂程度，得到有效表征设备状态的健康特征集。

从微分几何的角度看，健康评估的过程为：相似状态下的设备特征集存在于同一个具有复杂结构的流形，在流形空间度量特征集间的相似性，即可实现健康评估。本文将能够反映数据全局一致性的流形距离应用到健康评估领域，应用Dijkstra路径算法，反映了流形的拓扑关系，表征出复杂流形空间中的健康演化趋势；并引入田口方法，通过正交表和信噪比分析进行健康特征优选，避免了Hughes峰值现象；然后基于高斯混合模型求取健康度（CV），为基于状态的维修提供了重要决策依据。

信息几何是一种利用微分几何理论来研究统计算法的理论。从信息几何角度看：将支持向量机（SVM）作为一种流形的投影，深入分析核函数的对偶微分几何结构，依据数据的自身特点，以黎曼度量最优为目标，通过共形变换优化核函数结构，降低了算法对核函数类型与参数配置的过度依赖，减小了算法复杂度，提高了算法的性能与适用性。本文将信息几何应用到故障诊断领域，提出了基于信息几何与支持向量机（IG-SVM）的故障诊断技术，并给出了2种诊断策略：（1）工况扰动下的IG-SVC故障分类方法、（2）基于混沌IG-SVR设备状态估计方法，实现了设备的高效诊断。

本文通过仿真及试验台数据，对所提出方法进行了验证，证明了方法的可行性与效果，为机电产品的健康评估与诊断研究提供了新的思路。