题目：流体力学中若干非线性波动方程的孤子解研究

流体力学中的许多实际模型都可以归结为具有孤子解的非线性波动方程，为了更好地理解这些方程所描述的自然现象的力学本质，求解其解析解变得越来越为重要。孤子解作为其中一种特殊的解析解更是受到了广泛的关注。至今，非线性波动方程孤子解的求法主要有：Bäcklund变换法，Hirota方法，齐次平衡法，Wronskian技巧，Darboux变换和行波法等等。本文正是以非线性波动方程的理论为基础研究几种重要的求解方法，并且得到了一种非等谱变系数修正KdV (Korteweg-de Vries)方程的新的孤子解及其它相关性质。本文的主要内容包括以下几个方面：第一章首先概括了非线性波动方程的理论背景及发展现状，随后介绍了与流体力学相关的几种常见方程，它们分别是：KdV方程，修正KdV方程，Burgers方程和Boussinesq方程。第二章首先给出了非线性方程Painlevé可积的定义及Painlevé分析法的一般步骤，接着以具体的力学实例说明通过此方法可以得到目标方程的自Bäcklund变换和双线性化所需的因变量变换。第三章具体介绍了Hirota方法，它是70年代由Hirota发展起来的一种求解非线性方程解析解的方法。本章给出了双线性算子的定义及其性质，并以通过几个例子详细说明了求双线性形式、双线性Bäcklund变换及非线性叠加公式的具体步骤。第四章主要研究了散射反演法的两个重要方面：Lax理论和AKNS (Ablowitz-Kaup-Newell- Segur)方法，并且求得了非等谱变系数修正KdV方程的Lax对、AKNS系统和一般形式的Bäcklund变换。第五章首先介绍了孤子的形成条件，其次给出了几种孤子解求法及行列式表达方法，最后将其应用于力学实例，得到了非等谱变系数修正KdV方程的孤子解，并对部分解加以图形说明。