2018年中央财经大学统计与数学学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
是3维线性无关列向量，且
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
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芄中
不
知
故
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。 3．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
4．
已知
其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
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由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
二、计算题
5．
设性表示.
【答案】必要性：任给n 维向量b , 则n
维向量组数大于向量的维数）。
又因
线性无关，可知向量b
必可由
线性表示，
则知
6． 说明：xOy
平面上变换
（1
）（2
）
的几何意义，其中 线性无关.
（惟一地）线性表示.
能由
充分性：设任一n
维向量能由
线性表示，
特别维单位坐标向量
，b 线性相关（因它所含向量个
是一组n 维向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一n 维向量都可由它线
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