2017年山东科技大学电气与自动化工程学院843信号与系统考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的一组基, 则由
基
到基
的过渡矩阵为（ ）
.
【答案】（A ）
2． 若
都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】 C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
3． 设线性方程组
的解都是线性方程组的解，则（ ）。
【答案】（C ） 【解析】设的解空间分别为
则
所以
即证秩
4． 设
均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若
线性无关，则
线性无关.
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【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
5． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
的3个线性无关的解，为任意
二、分析计算题
6． 设T 是数域K 上n 维空间V 的一个线性变换，在某基下的矩阵为对角矩阵，又T 的全部互异的特征值. 证明：存在V 的线性变换
①②③④⑤其中
为特征值的特征子空间.
现在令
易知是V 的线性变换.
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为
使
【答案】由于T 可对角化，故V 为所有特征子空间的直和，即。于是对V 中任意向量总可唯一表为
①对V 中任意由（6）可得
因此，
②由于对V 中任意有
故③当⑤显然④对任意
有又任取
时，由于对任意
有
故
则
故 所以
7． 证明：可逆变换是双射.
【答案】设为可逆变换，即有逆变换证明=
证明
是单射.
对
，故
：是满射. 对
即若有
是单射.
故
是满射
.
找使
用使
同乘此式两边，则左
=
右
既是单射，又是满射，因而是双射.
8． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和为3, 向量
的两个解.
（1）求A 的特征值与特征向量. （2）求正交矩阵Q 和对角阵D ，便（3）求行列式【答案】（1）由到A 是3阶矩阵，故不全为0的实数；
（2）将
正交化，则
再单位化，得
将单位化，得
令
则Q 是正交矩阵，D 是对角阵，且
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是线性方程组
其中B 是
的相似矩阵，
是B 的伴随矩阵.
的两个线性无的特征向量. 注意
是
是线性方程组的解，则是A 的属于特征值是A 的属于特征值
关的特征向量. 由A 的各行元素之和为3, 则
是A 的特征值，对应的特征向量分别