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一、计算题

1． 设函数

连续，且满足

在该方程两端对x 求导，得

即

可见若记

又在方程

则有初值问题

上述非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为特征方程的根，故令有通解

且有代入初始条件

有

解得

x

【答案】由所给方程可得

的两端对x 求导，得

而不是

于是方程（1）

是方程（1）的特解，代入方程并消去e ，得

即于是得

2． 在什么条件下，（a , b ）内的连续函数f （x ）为一致连续？

【答案】若

均存在，设

易证F （x ）在

上连续，从而F （x ）在

上一致连续，也就有F （x ）在

内一

致连续，即f （x ）在（a , b ）内一致连续。

3． 求点（a ，b ，c ）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.

，关于yOz 面的对称点是（﹣【答案】（l ）点（a ，b ，c ）关于xOy 面的对称点为（a ，b ，﹣c ）a ，b ，c ），关于zOx 面的对称点为（a ，﹣b ，c ）

，关于y 轴的对称点是（﹣a ，b ，（2）点（a ，b ，c ）关于x 轴的对称点是（a ，﹣b ，﹣c ），关于z 轴的对称点是（﹣a ，﹣b ，c ）﹣c ）·

（3）点（a ，b ，c ）关于坐标原点的对称点是（﹣a ，﹣b ，﹣c ）.

4． 对图所示的函数f （x ），求下列极限，如极限不存在，说明理由.

（l ）（2）（3）（2）（3）

不存在，因为

。

【答案】（l ）

图

5． 已知级数

（1）求出该级数的和 （2）问

取多大，能使当

时，级数的余项

的绝对值小于正数ε

（3）分别讨论级数在区间[0, 1],

在（﹣∞, +∞）上收敛。

，当x=0时，S （0）=0; 当x ≠0时，

该级数的公比为【答案】（1）设该级数的和函数为s （x ）的等比级数，且

故

于是

（2）

当x=0时，

当

时，

，取

（不妨设ε<1）

取N=1，则当n>N时，就有

则当n>N时，

（3）该级数的各项

在区间[0, 1]上是连续的，

如果

在[0, 1]上一致收敛，由定理1知，其和函数s （x ）在[0, 1]上连续，今s （x ）在[0, 1]

有间断点x=0, 由此推知该级数在[0, 1]上不一致收敛。

在区间

上，因为

所以，

取

当n>N时，对一切

即级数在 6． 设

【答案】

，其中f （y ）为可微分的函数，求F 〞（x ）。

7． 求过点（3，0，﹣1）且与平面3x －7y ＋5z －12=0平行的平面方程.

【答案】所求平面与已知平面3x －7y ＋5z －12=0平行. 因此所求平面的法向量可取为n=（3，，设所求平面为 ﹣7，5）

3x －7y ＋5z ＋D=0 将点（3，0，﹣1）代入上式得D=﹣4. 故所求平面方程为

有

上一致收敛。