2017年昆明理工大学理学院843高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时， 2． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 3． 设
其中A 可逆，则
=（ ）.
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【答案】B 【解析】
为空间的两组基，且
由②有
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 4． 设均为n 维列向量，A 是
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
5． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
的3个线性无关的解，为任意
二、分析计算题
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6． 设T 是n 维线性空间V 的一个线性变换
，
令
（T ）表示T 的核空间
【答案】而
为T （V ）的基，
所以
线性无关，
且
所以有
，则有
证明：
是T （V ）的一个基，且其中T （V ）表示T 的值域，N
即
因此有
所以
故线
W+N（T ）是直和.
又因为性无关，故有dimW=r.
又从而
7． 设
是线性空间V 的两个子空间，证明：
【答案】设则因此，反之，若
8． 化下列
则
矩阵成标准形：
若
则
隹
则存在
不可能：否则，必有
现任取
矛盾.
则
【答案】（1）因为
所以标准形为：
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