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一、简答题

1． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

2． 写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】

3． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。

4． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

5． 波函数是否描述同一状态？ 【答案】

与

6． 如果算符

描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

表示力学量那么当体系处于

的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，其确定值就是在本征态的本征值。

7． 已知为一个算符满足如下的两式么正算符？

问何为厄密算符？何为

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

8． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，

能量

用算符表示，

当体系处于某个能量

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的本征态时，算符对

态的作用是得到这一本征值，即当体系处于一般态时，算符对态的作

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

9． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 磁场，则电子分为两束。

10．现有三种能级【答案】一维谐振子．

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀

对应中心库仑势系统，例如氢原子；对应

二、证明题

11．证明，

【答案】因为

可得：

12．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

因而有：

三、计算题

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13．设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

也属于正幂次级数，故有定态方程

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而

式中：

则I 式可以化为：令

上方程可化简为

式解得

则

其中C 为归一化常数。

中（为x 轴

14．考虑一自旋量于救s=l的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场的单位矢量），粒子的哈米顿算符为（1）若虬

同本征矢

（2）如果初始时刻t=0粒子的态为（3）发现粒子处在【答案】（1）由于

求在t ＞0后粒子的态？

为基，求自旋算符S 的矩阵表示.

态的概率是多少?

故

由于哈密顿量为（2）由定态方程

则能量本征态对应于

解得

本征态.

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