2017年南京航空航天大学理学院618量子力学之量子力学导论考研强化模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 写出电子在外电磁场【答案】
中的哈密顿量。
2． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
3． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
4． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：
（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；
（3）分裂能级间距与能级有关；
（4）由于电子具有自旋。
5． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
6． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
7． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
对整个空间积分也等于1。
表示粒子在
|
处
8． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为
如果
对整个空间积分等于1，则
即用任意相因子去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的
归一化。
9． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
受激辐射是处于激发能级低能级
的原子被一个频率为
的光子照射，受激发而跃迀到较
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
的。
10．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
二、证明题
11．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故
12．粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
，（常数）
同理，可得
因此：
所以有：
与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。 试证明
的不确定关系
：
三、计算题
13．粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若
是薛定谔方程的两个解，证明
与时间无关.
（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式.
【答案】⑴
取式（1）之复共轭，得
得
对全空间积分： 即
所以与时间无关. （2）设
代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以
因此，通解可以表示为其中，
14．自旋为的一定域电子在均匀磁场子处 在
的本征态上，求t ＞0时测量
中运动，磁作用势为的可能取值及相应的几率。
是满足不含时的薛定谔方程
设t=0时刻，电
【答案】的本征态矢与本征值为：
任意t 时的态矢为：