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一、计算题

1． 若是电子的自旋算符，求： （1）（2）【答案】⑴或者：（2）

2． 证明

式中A 为归一化常数

，

是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.

【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为

本题中波函数

所以

是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2, 因此容易得到其，本征能量为

3． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

与时间无关.

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴

取式（1）之复共轭，得

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得

对全空间积分： 即

所以与时间无关. （2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以

因此，通解可以表示为其中，

是满足不含时的薛定谔方程

4． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

也属于正幂次级数，故有定态方程

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而

式中：

则I 式可以化为：令

上方程可化简为

式解得

则

其中C 为归一化常数。

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5． 自旋为时，粒子处于

固有磁矩为

的状态。

（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场中，设t=0

（1）求出t ＞0时的波函数； （2）求出t ＞0时

的可测值及相应的取值几率。

【答案】（1）体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为：在t= 0时，粒子处于为了求出

的状态，即

在泡利表象中的具体形式，需要求解满足的本征方程：

解得:于是，有：

由于，哈密顿算符不显含时间，故/>0时刻的波函数为：

（2）因为

所以是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计

算t=0时的取值几率就知道了t ＞0时的取值几率。 由于

的取值几率为：

因此有：

6． 对于自旋的体系，求量

得

的概率和

的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测

故有：

的平均值。

设本征态

本征值为则：

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【答案】