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一、证明题

1． 设

(1) 存在

在

使

(2) c 的最小值为. 【答案】(1) 将则

由巴塞伐尔等式得

故

由此可见，只要式，

故c 的最小值为

.

上述不等式总成立.

使式(1) 中等号成立. 易见，当

时，式

变成等

在

上展开成正弦级数

上连续可导，

证明：

(2) 为求c 的最小值，必须求

二、解答题

2． 设有半径为r 的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为在圆心处有一单位正电荷. 试求它们之间作用力的大小。

【答案】如图所示，

在处，

从

到

正电荷在垂直方向上的引力为

故导线与电荷的作用力为

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的一段导线的电量微元为它对圆心处的单位

图

3． 设导数.

证明：

【答案】

和

都有连续的一阶偏

4． 应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域) ：

【答案】(1) 又当

，因

当，

时，级数收敛，故原级数的收敛半径

时，原级数可化为发散，从而得收敛域为

内逐项求导，得

故和函数

(2) 记因为

所以

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，因为所以收敛区域为

(3)

因为

则收敛区域为

所以

所以

因此

5． 设

存在

，

则

即

【答案】由令

对x 求导，有

6． 求下列不定积分：

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