2017年河北大学量子力学(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
是
（1）计算（2）计算
并将结果表示为三个泡利矩阵的线性组合（要求给出组合系数）。 的本征态
试证该态与的方向无关，即由不同得到
方向的单位矢量，在表象中
，
（3
）设两电子自旋态为的态最多相差相因子。 【答案】⑴
（2）设的本征值为，本征矢为
则:
解久期方程将
，可得：
分别代入本征方程，得到与对应的本征矢为：
与对应的本征矢为：
表示为：
（3）利用矩阵直积的知识，可将
因此，对任意
倍。得证
得到的与态只相差
2． 两个互作用可以忽略的电子在一维线性谐振子势场中运动，写出系统基态和第一激发态的总波函数。
【答案】单电子波函数的空间部分：
二电子总波函数应为反对称： 基态：第一激发态：
3． 对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.
（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由
和由
表象中，
很容易求得
分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同
是体系总自旋平方的本征态.
的本征值与本征矢：
（2）
的本征值为±1，说
的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符
的本征方程
的本征方程
可得，
故
（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中
则题中
4． （1）求算符【答案】⑴
即算符⑵则
5． 考虑自旋为的系统。 （1）试在
表象中求算符
的本征值及归一化的本征态。其中
是角动量算符，
而4、5为实常数。
（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。 【答案】（1）设设本征值为
有
则在
设
解得本征态为：
的共同本征态
其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：
故
是的本征态.
其中
的对易关系. （2）证明
不对易.
得证.
表象中
为归一化的本征态，
则由本征方程