2018年浙江农林大学环境与资源学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型
的规范形；
且秩
（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
是正定矩阵，
并求行列式的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
3．
已知
与故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：
令
记
有.
因此即
则P 可逆，
且
4． 设线性方程
m
试就讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
【答案】
对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
时
此时方程组无解.